Ensembles finis Exemples

$y = - 2 x^{2} + 10 x$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{10}{2 (- 2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{10}{2 (- 2)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{10}{2 (- 2)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 (- 2)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{5}{- 2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{5}{2}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{5}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{5}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 {(\frac{5}{2})}^{2} + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \frac{25}{2^{2}} + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 (\frac{25}{4}) + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (- 1) (\frac{25}{4}) + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = - 1 (\frac{25}{2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{25}{2})$ comme $- (\frac{25}{2})$ .

$f (\frac{5}{2}) = - (\frac{25}{2}) + 10 (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 (5) (\frac{5}{2})$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2}))$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 5 \cdot 5$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25$

Étape 3.2.2

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Associez $25$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{2}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 25$ et $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(\frac{5}{2}, \frac{25}{2})$

Étape 5